home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Language/OS - Multiplatform Resource Library / LANGUAGE OS.iso / gnu / calc202a.lha / calc-2.02a / calc-alg-3.el < prev    next >
Lisp/Scheme  |  1993-06-01  |  57KB  |  1,825 lines
  1. ;; Calculator for GNU Emacs, part II [calc-alg-3.el]
  2. ;; Copyright (C) 1990, 1991, 1992, 1993 Free Software Foundation, Inc.
  3. ;; Written by Dave Gillespie, daveg@synaptics.com.
  4.  
  5. ;; This file is part of GNU Emacs.
  6.  
  7. ;; GNU Emacs is distributed in the hope that it will be useful,
  8. ;; but WITHOUT ANY WARRANTY.  No author or distributor
  9. ;; accepts responsibility to anyone for the consequences of using it
  10. ;; or for whether it serves any particular purpose or works at all,
  11. ;; unless he says so in writing.  Refer to the GNU Emacs General Public
  12. ;; License for full details.
  13.  
  14. ;; Everyone is granted permission to copy, modify and redistribute
  15. ;; GNU Emacs, but only under the conditions described in the
  16. ;; GNU Emacs General Public License.   A copy of this license is
  17. ;; supposed to have been given to you along with GNU Emacs so you
  18. ;; can know your rights and responsibilities.  It should be in a
  19. ;; file named COPYING.  Among other things, the copyright notice
  20. ;; and this notice must be preserved on all copies.
  21.  
  22.  
  23.  
  24. ;; This file is autoloaded from calc-ext.el.
  25. (require 'calc-ext)
  26.  
  27. (require 'calc-macs)
  28.  
  29. (defun calc-Need-calc-alg-3 () nil)
  30.  
  31.  
  32. (defun calc-find-root (var)
  33.   (interactive "sVariable(s) to solve for: ")
  34.   (calc-slow-wrapper
  35.    (let ((func (if (calc-is-hyperbolic) 'calcFunc-wroot 'calcFunc-root)))
  36.      (if (or (equal var "") (equal var "$"))
  37.      (calc-enter-result 2 "root" (list func
  38.                        (calc-top-n 3)
  39.                        (calc-top-n 1)
  40.                        (calc-top-n 2)))
  41.        (let ((var (if (and (string-match ",\\|[^ ] +[^ ]" var)
  42.                (not (string-match "\\[" var)))
  43.               (math-read-expr (concat "[" var "]"))
  44.             (math-read-expr var))))
  45.      (if (eq (car-safe var) 'error)
  46.          (error "Bad format in expression: %s" (nth 1 var)))
  47.      (calc-enter-result 1 "root" (list func
  48.                        (calc-top-n 2)
  49.                        var
  50.                        (calc-top-n 1)))))))
  51. )
  52.  
  53. (defun calc-find-minimum (var)
  54.   (interactive "sVariable(s) to minimize over: ")
  55.   (calc-slow-wrapper
  56.    (let ((func (if (calc-is-inverse)
  57.            (if (calc-is-hyperbolic)
  58.                'calcFunc-wmaximize 'calcFunc-maximize)
  59.          (if (calc-is-hyperbolic)
  60.              'calcFunc-wminimize 'calcFunc-minimize)))
  61.      (tag (if (calc-is-inverse) "max" "min")))
  62.      (if (or (equal var "") (equal var "$"))
  63.      (calc-enter-result 2 tag (list func
  64.                     (calc-top-n 3)
  65.                     (calc-top-n 1)
  66.                     (calc-top-n 2)))
  67.        (let ((var (if (and (string-match ",\\|[^ ] +[^ ]" var)
  68.                (not (string-match "\\[" var)))
  69.               (math-read-expr (concat "[" var "]"))
  70.             (math-read-expr var))))
  71.      (if (eq (car-safe var) 'error)
  72.          (error "Bad format in expression: %s" (nth 1 var)))
  73.      (calc-enter-result 1 tag (list func
  74.                     (calc-top-n 2)
  75.                     var
  76.                     (calc-top-n 1)))))))
  77. )
  78.  
  79. (defun calc-find-maximum (var)
  80.   (interactive "sVariable to maximize over: ")
  81.   (calc-invert-func)
  82.   (calc-find-minimum var)
  83. )
  84.  
  85.  
  86. (defun calc-poly-interp (arg)
  87.   (interactive "P")
  88.   (calc-slow-wrapper
  89.    (let ((data (calc-top 2)))
  90.      (if (or (consp arg) (eq arg 0) (eq arg 2))
  91.      (setq data (cons 'vec (calc-top-list 2 2)))
  92.        (or (null arg)
  93.        (error "Bad prefix argument")))
  94.      (if (calc-is-hyperbolic)
  95.      (calc-enter-result 1 "rati" (list 'calcFunc-ratint data (calc-top 1)))
  96.        (calc-enter-result 1 "poli" (list 'calcFunc-polint data
  97.                      (calc-top 1))))))
  98. )
  99.  
  100.  
  101. (defun calc-curve-fit (arg &optional model coefnames varnames)
  102.   (interactive "P")
  103.   (calc-slow-wrapper
  104.    (setq calc-aborted-prefix nil)
  105.    (let ((func (if (calc-is-inverse) 'calcFunc-xfit
  106.          (if (calc-is-hyperbolic) 'calcFunc-efit
  107.            'calcFunc-fit)))
  108.      key (which 0)
  109.      n nvars temp data
  110.      (homog nil)
  111.      (msgs '( "(Press ? for help)"
  112.           "1 = linear or multilinear"
  113.           "2-9 = polynomial fits; i = interpolating polynomial"
  114.           "p = a x^b, ^ = a b^x"
  115.           "e = a exp(b x), x = exp(a + b x), l = a + b ln(x)"
  116.           "E = a 10^(b x), X = 10^(a + b x), L = a + b log10(x)"
  117.           "q = a + b (x-c)^2"
  118.           "g = (a/b sqrt(2 pi)) exp(-0.5*((x-c)/b)^2)"
  119.           "h prefix = homogeneous model (no constant term)"
  120.           "' = alg entry, $ = stack, u = Model1, U = Model2")))
  121.      (while (not model)
  122.        (message "Fit to model: %s:%s"
  123.         (nth which msgs)
  124.         (if homog " h" ""))
  125.        (setq key (read-char))
  126.        (cond ((= key ?\C-g)
  127.           (keyboard-quit))
  128.          ((= key ??)
  129.           (setq which (% (1+ which) (length msgs))))
  130.          ((memq key '(?h ?H))
  131.           (setq homog (not homog)))
  132.          ((progn
  133.         (if (eq key ?\$)
  134.             (setq n 1)
  135.           (setq n 0))
  136.         (cond ((null arg)
  137.                (setq n (1+ n)
  138.                  data (calc-top n)))
  139.               ((or (consp arg) (eq arg 0))
  140.                (setq n (+ n 2)
  141.                  data (calc-top n)
  142.                  data (if (math-matrixp data)
  143.                       (append data (list (calc-top (1- n))))
  144.                     (list 'vec data (calc-top (1- n))))))
  145.               ((> (setq arg (prefix-numeric-value arg)) 0)
  146.                (setq data (cons 'vec (calc-top-list arg (1+ n)))
  147.                  n (+ n arg)))
  148.               (t (error "Bad prefix argument")))
  149.         (or (math-matrixp data) (not (cdr (cdr data)))
  150.             (error "Data matrix is not a matrix!"))
  151.         (setq nvars (- (length data) 2)
  152.               coefnames nil
  153.               varnames nil)
  154.         nil))
  155.          ((= key ?1)  ; linear or multilinear
  156.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ nvars) (and homog 0))
  157.           (setq model (math-mul coefnames
  158.                     (cons 'vec (cons 1 (cdr varnames))))))
  159.          ((and (>= key ?2) (<= key ?9))   ; polynomial
  160.           (calc-get-fit-variables 1 (- key ?0 -1) (and homog 0))
  161.           (setq model (math-build-polynomial-expr (cdr coefnames)
  162.                               (nth 1 varnames))))
  163.          ((= key ?i)  ; exact polynomial
  164.           (calc-get-fit-variables 1 (1- (length (nth 1 data)))
  165.                       (and homog 0))
  166.           (setq model (math-build-polynomial-expr (cdr coefnames)
  167.                               (nth 1 varnames))))
  168.          ((= key ?p)  ; power law
  169.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ nvars) (and homog 1))
  170.           (setq model (math-mul (nth 1 coefnames)
  171.                     (calcFunc-reduce
  172.                      '(var mul var-mul)
  173.                      (calcFunc-map
  174.                       '(var pow var-pow)
  175.                       varnames
  176.                       (cons 'vec (cdr (cdr coefnames))))))))
  177.          ((= key ?^)  ; exponential law
  178.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ nvars) (and homog 1))
  179.           (setq model (math-mul (nth 1 coefnames)
  180.                     (calcFunc-reduce
  181.                      '(var mul var-mul)
  182.                      (calcFunc-map
  183.                       '(var pow var-pow)
  184.                       (cons 'vec (cdr (cdr coefnames)))
  185.                       varnames)))))
  186.          ((memq key '(?e ?E))
  187.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ nvars) (and homog 1))
  188.           (setq model (math-mul (nth 1 coefnames)
  189.                     (calcFunc-reduce
  190.                      '(var mul var-mul)
  191.                      (calcFunc-map
  192.                       (if (eq key ?e)
  193.                       '(var exp var-exp)
  194.                     '(calcFunc-lambda
  195.                       (var a var-a)
  196.                       (^ 10 (var a var-a))))
  197.                       (calcFunc-map
  198.                        '(var mul var-mul)
  199.                        (cons 'vec (cdr (cdr coefnames)))
  200.                        varnames))))))
  201.          ((memq key '(?x ?X))
  202.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ nvars) (and homog 0))
  203.           (setq model (math-mul coefnames
  204.                     (cons 'vec (cons 1 (cdr varnames)))))
  205.           (setq model (if (eq key ?x)
  206.                   (list 'calcFunc-exp model)
  207.                 (list '^ 10 model))))
  208.          ((memq key '(?l ?L))
  209.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ nvars) (and homog 0))
  210.           (setq model (math-mul coefnames
  211.                     (cons 'vec
  212.                       (cons 1 (cdr (calcFunc-map
  213.                             (if (eq key ?l)
  214.                                 '(var ln var-ln)
  215.                               '(var log10
  216.                                 var-log10))
  217.                             varnames)))))))
  218.          ((= key ?q)
  219.           (calc-get-fit-variables nvars (1+ (* 2 nvars)) (and homog 0))
  220.           (let ((c coefnames)
  221.             (v varnames))
  222.         (setq model (nth 1 c))
  223.         (while (setq v (cdr v) c (cdr (cdr c)))
  224.           (setq model (math-add
  225.                    model
  226.                    (list '*
  227.                      (car c)
  228.                      (list '^
  229.                        (list '- (car v) (nth 1 c))
  230.                        2)))))))
  231.          ((= key ?g)
  232.           (setq model (math-read-expr "(AFit / BFit sqrt(2 pi)) exp(-0.5 * ((XFit - CFit) / BFit)^2)")
  233.             varnames '(vec (var XFit var-XFit))
  234.             coefnames '(vec (var AFit var-AFit)
  235.                     (var BFit var-BFit)
  236.                     (var CFit var-CFit)))
  237.           (calc-get-fit-variables 1 (1- (length coefnames)) (and homog 1)))
  238.          ((memq key '(?\$ ?\' ?u ?U))
  239.           (let* ((defvars nil)
  240.              (record-entry nil))
  241.         (if (eq key ?\')
  242.             (let* ((calc-dollar-values calc-arg-values)
  243.                (calc-dollar-used 0)
  244.                (calc-hashes-used 0))
  245.               (setq model (calc-do-alg-entry "" "Model formula: "))
  246.               (if (/= (length model) 1)
  247.               (error "Bad format"))
  248.               (setq model (car model)
  249.                 record-entry t)
  250.               (if (> calc-dollar-used 0)
  251.               (setq coefnames
  252.                 (cons 'vec
  253.                       (nthcdr (- (length calc-arg-values)
  254.                          calc-dollar-used)
  255.                           (reverse calc-arg-values))))
  256.             (if (> calc-hashes-used 0)
  257.                 (setq coefnames
  258.                   (cons 'vec (calc-invent-args
  259.                           calc-hashes-used))))))
  260.           (progn
  261.             (setq model (cond ((eq key ?u)
  262.                        (calc-var-value 'var-Model1))
  263.                       ((eq key ?U)
  264.                        (calc-var-value 'var-Model2))
  265.                       (t (calc-top 1))))
  266.             (or model (error "User model not yet defined"))
  267.             (if (math-vectorp model)
  268.             (if (and (memq (length model) '(3 4))
  269.                  (not (math-objvecp (nth 1 model)))
  270.                  (math-vectorp (nth 2 model))
  271.                  (or (null (nth 3 model))
  272.                      (math-vectorp (nth 3 model))))
  273.                 (setq varnames (nth 2 model)
  274.                   coefnames (or (nth 3 model)
  275.                         (cons 'vec
  276.                               (math-all-vars-but
  277.                                model varnames)))
  278.                   model (nth 1 model))
  279.               (error "Incorrect model specifier")))))
  280.         (or varnames
  281.             (let ((with-y (eq (car-safe model) 'calcFunc-eq)))
  282.               (if coefnames
  283.               (calc-get-fit-variables (if with-y (1+ nvars) nvars)
  284.                           (1- (length coefnames))
  285.                           (math-all-vars-but
  286.                            model coefnames)
  287.                           nil with-y)
  288.             (let* ((coefs (math-all-vars-but model nil))
  289.                    (vars nil)
  290.                    (n (- (length coefs) nvars (if with-y 2 1)))
  291.                    p)
  292.               (if (< n 0)
  293.                   (error "Not enough variables in model"))
  294.               (setq p (nthcdr n coefs))
  295.               (setq vars (cdr p))
  296.               (setcdr p nil)
  297.               (calc-get-fit-variables (if with-y (1+ nvars) nvars)
  298.                           (length coefs)
  299.                           vars coefs with-y)))))
  300.         (if record-entry
  301.             (calc-record (list 'vec model varnames coefnames)
  302.                  "modl"))))
  303.          (t (beep))))
  304.      (let ((calc-fit-to-trail t))
  305.        (calc-enter-result n (substring (symbol-name func) 9)
  306.               (list func model
  307.                 (if (= (length varnames) 2)
  308.                     (nth 1 varnames)
  309.                   varnames)
  310.                 (if (= (length coefnames) 2)
  311.                     (nth 1 coefnames)
  312.                   coefnames)
  313.                 data))
  314.        (if (consp calc-fit-to-trail)
  315.        (calc-record (calc-normalize calc-fit-to-trail) "parm")))))
  316. )
  317.  
  318. (defun calc-invent-independent-variables (n &optional but)
  319.   (calc-invent-variables n but '(x y z t) "x")
  320. )
  321.  
  322. (defun calc-invent-parameter-variables (n &optional but)
  323.   (calc-invent-variables n but '(a b c d) "a")
  324. )
  325.  
  326. (defun calc-invent-variables (num but names base)
  327.   (let ((vars nil)
  328.     (n num) (nn 0)
  329.     var)
  330.     (while (and (> n 0) names)
  331.       (setq var (math-build-var-name (if (consp names)
  332.                      (car names)
  333.                        (concat base (setq nn (1+ nn))))))
  334.       (or (math-expr-contains (cons 'vec but) var)
  335.       (setq vars (cons var vars)
  336.         n (1- n)))
  337.       (or (symbolp names) (setq names (cdr names))))
  338.     (if (= n 0)
  339.     (nreverse vars)
  340.       (calc-invent-variables num but t base)))
  341. )
  342.  
  343. (defun calc-get-fit-variables (nv nc &optional defv defc with-y homog)
  344.   (or (= nv (if with-y (1+ nvars) nvars))
  345.       (error "Wrong number of data vectors for this type of model"))
  346.   (if (integerp defv)
  347.       (setq homog defv
  348.         defv nil))
  349.   (if homog
  350.       (setq nc (1- nc)))
  351.   (or defv
  352.       (setq defv (calc-invent-independent-variables nv)))
  353.   (or defc
  354.       (setq defc (calc-invent-parameter-variables nc defv)))
  355.   (let ((vars (read-string (format "Fitting variables: (default %s; %s) "
  356.                    (mapconcat 'symbol-name
  357.                           (mapcar (function (lambda (v)
  358.                                   (nth 1 v)))
  359.                               defv)
  360.                           ",")
  361.                    (mapconcat 'symbol-name
  362.                           (mapcar (function (lambda (v)
  363.                                   (nth 1 v)))
  364.                               defc)
  365.                           ","))))
  366.     (coefs nil))
  367.     (setq vars (if (string-match "\\[" vars)
  368.            (math-read-expr vars)
  369.          (math-read-expr (concat "[" vars "]"))))
  370.     (if (eq (car-safe vars) 'error)
  371.     (error "Bad format in expression: %s" (nth 2 vars)))
  372.     (or (math-vectorp vars)
  373.     (error "Expected a variable or vector of variables"))
  374.     (if (equal vars '(vec))
  375.     (setq vars (cons 'vec defv)
  376.           coefs (cons 'vec defc))
  377.       (if (math-vectorp (nth 1 vars))
  378.       (if (and (= (length vars) 3)
  379.            (math-vectorp (nth 2 vars)))
  380.           (setq coefs (nth 2 vars)
  381.             vars (nth 1 vars))
  382.         (error
  383.          "Expected independent variables vector, then parameters vector"))
  384.     (setq coefs (cons 'vec defc))))
  385.     (or (= nv (1- (length vars)))
  386.     (and (not with-y) (= (1+ nv) (1- (length vars))))
  387.     (error "Expected %d independent variable%s" nv (if (= nv 1) "" "s")))
  388.     (or (= nc (1- (length coefs)))
  389.     (error "Expected %d parameter variable%s" nc (if (= nc 1) "" "s")))
  390.     (if homog
  391.     (setq coefs (cons 'vec (cons homog (cdr coefs)))))
  392.     (if varnames
  393.     (setq model (math-multi-subst model (cdr varnames) (cdr vars))))
  394.     (if coefnames
  395.     (setq model (math-multi-subst model (cdr coefnames) (cdr coefs))))
  396.     (setq varnames vars
  397.       coefnames coefs))
  398. )
  399.  
  400.  
  401.  
  402.  
  403. ;;; The following algorithms are from Numerical Recipes chapter 9.
  404.  
  405. ;;; "rtnewt" with safety kludges
  406. (defun math-newton-root (expr deriv guess orig-guess limit)
  407.   (math-working "newton" guess)
  408.   (let* ((var-DUMMY guess)
  409.      next dval)
  410.     (setq next (math-evaluate-expr expr)
  411.       dval (math-evaluate-expr deriv))
  412.     (if (and (Math-numberp next)
  413.          (Math-numberp dval)
  414.          (not (Math-zerop dval)))
  415.     (progn
  416.       (setq next (math-sub guess (math-div next dval)))
  417.       (if (math-nearly-equal guess (setq next (math-float next)))
  418.           (progn
  419.         (setq var-DUMMY next)
  420.         (list 'vec next (math-evaluate-expr expr)))
  421.         (if (Math-lessp (math-abs-approx (math-sub next orig-guess))
  422.                 limit)
  423.         (math-newton-root expr deriv next orig-guess limit)
  424.           (math-reject-arg next "*Newton's method failed to converge"))))
  425.       (math-reject-arg next "*Newton's method encountered a singularity")))
  426. )
  427.  
  428. ;;; Inspired by "rtsafe"
  429. (defun math-newton-search-root (expr deriv guess vguess ostep oostep
  430.                      low vlow high vhigh)
  431.   (let ((var-DUMMY guess)
  432.     (better t)
  433.     pos step next vnext)
  434.     (if guess
  435.     (math-working "newton" (list 'intv 0 low high))
  436.       (math-working "bisect" (list 'intv 0 low high))
  437.       (setq ostep (math-mul-float (math-sub-float high low)
  438.                   '(float 5 -1))
  439.         guess (math-add-float low ostep)
  440.         var-DUMMY guess
  441.         vguess (math-evaluate-expr expr))
  442.       (or (Math-realp vguess)
  443.       (progn
  444.         (setq ostep (math-mul-float ostep '(float 6 -1))
  445.           guess (math-add-float low ostep)
  446.           var-DUMMY guess
  447.           vguess (math-evaluate-expr expr))
  448.         (or (math-realp vguess)
  449.         (progn
  450.           (setq ostep (math-mul-float ostep '(float 123456 -5))
  451.             guess (math-add-float low ostep)
  452.             var-DUMMY guess
  453.             vguess nil))))))
  454.     (or vguess
  455.     (setq vguess (math-evaluate-expr expr)))
  456.     (or (Math-realp vguess)
  457.     (math-reject-arg guess "*Newton's method encountered a singularity"))
  458.     (setq vguess (math-float vguess))
  459.     (if (eq (Math-negp vlow) (setq pos (Math-posp vguess)))
  460.     (setq high guess
  461.           vhigh vguess)
  462.       (if (eq (Math-negp vhigh) pos)
  463.       (setq low guess
  464.         vlow vguess)
  465.     (setq better nil)))
  466.     (if (or (Math-zerop vguess)
  467.         (math-nearly-equal low high))
  468.     (list 'vec guess vguess)
  469.       (setq step (math-evaluate-expr deriv))
  470.       (if (and (Math-realp step)
  471.            (not (Math-zerop step))
  472.            (setq step (math-div-float vguess (math-float step))
  473.              next (math-sub-float guess step))
  474.            (not (math-lessp-float high next))
  475.            (not (math-lessp-float next low)))
  476.       (progn
  477.         (setq var-DUMMY next
  478.           vnext (math-evaluate-expr expr))
  479.         (if (or (Math-zerop vnext)
  480.             (math-nearly-equal next guess))
  481.         (list 'vec next vnext)
  482.           (if (and better
  483.                (math-lessp-float (math-abs (or oostep
  484.                                (math-sub-float
  485.                             high low)))
  486.                      (math-abs
  487.                       (math-mul-float '(float 2 0)
  488.                               step))))
  489.           (math-newton-search-root expr deriv nil nil nil ostep
  490.                        low vlow high vhigh)
  491.         (math-newton-search-root expr deriv next vnext step ostep
  492.                      low vlow high vhigh))))
  493.     (if (or (and (Math-posp vlow) (Math-posp vhigh))
  494.         (and (Math-negp vlow) (Math-negp vhigh)))
  495.         (math-search-root expr deriv low vlow high vhigh)
  496.       (math-newton-search-root expr deriv nil nil nil ostep
  497.                    low vlow high vhigh)))))
  498. )
  499.  
  500. ;;; Search for a root in an interval with no overt zero crossing.
  501. (defun math-search-root (expr deriv low vlow high vhigh)
  502.   (let (found)
  503.     (if root-widen
  504.     (let ((iters 0)
  505.           (iterlim (if (eq root-widen 'point)
  506.                (+ calc-internal-prec 10)
  507.              20))
  508.           (factor (if (eq root-widen 'point)
  509.               '(float 9 0)
  510.             '(float 16 -1)))
  511.           (prev nil) vprev waslow
  512.           diff)
  513.       (while (or (and (math-posp vlow) (math-posp vhigh))
  514.              (and (math-negp vlow) (math-negp vhigh)))
  515.         (math-working "widen" (list 'intv 0 low high))
  516.         (if (> (setq iters (1+ iters)) iterlim)
  517.         (math-reject-arg (list 'intv 0 low high)
  518.                  "*Unable to bracket root"))
  519.         (if (= iters calc-internal-prec)
  520.         (setq factor '(float 16 -1)))
  521.         (setq diff (math-mul-float (math-sub-float high low) factor))
  522.         (if (Math-zerop diff)
  523.         (setq high (calcFunc-incr high 10))
  524.           (if (math-lessp-float (math-abs vlow) (math-abs vhigh))
  525.           (setq waslow t
  526.             prev low
  527.             low (math-sub low diff)
  528.             var-DUMMY low
  529.             vprev vlow
  530.             vlow (math-evaluate-expr expr))
  531.         (setq waslow nil
  532.               prev high
  533.               high (math-add high diff)
  534.               var-DUMMY high
  535.               vprev vhigh
  536.               vhigh (math-evaluate-expr expr)))))
  537.       (if prev
  538.           (if waslow
  539.           (setq high prev vhigh vprev)
  540.         (setq low prev vlow vprev)))
  541.       (setq found t))
  542.       (or (Math-realp vlow)
  543.       (math-reject-arg vlow 'realp))
  544.       (or (Math-realp vhigh)
  545.       (math-reject-arg vhigh 'realp))
  546.       (let ((xvals (list low high))
  547.         (yvals (list vlow vhigh))
  548.         (pos (Math-posp vlow))
  549.         (levels 0)
  550.         (step (math-sub-float high low))
  551.         xp yp var-DUMMY)
  552.     (while (and (<= (setq levels (1+ levels)) 5)
  553.             (not found))
  554.       (setq xp xvals
  555.         yp yvals
  556.         step (math-mul-float step '(float 497 -3)))
  557.       (while (and (cdr xp) (not found))
  558.         (if (Math-realp (car yp))
  559.         (setq low (car xp)
  560.               vlow (car yp)))
  561.         (setq high (math-add-float (car xp) step)
  562.           var-DUMMY high
  563.           vhigh (math-evaluate-expr expr))
  564.         (math-working "search" high)
  565.         (if (and (Math-realp vhigh)
  566.              (eq (math-negp vhigh) pos))
  567.         (setq found t)
  568.           (setcdr xp (cons high (cdr xp)))
  569.           (setcdr yp (cons vhigh (cdr yp)))
  570.           (setq xp (cdr (cdr xp))
  571.             yp (cdr (cdr yp))))))))
  572.     (if found
  573.     (if (Math-zerop vhigh)
  574.         (list 'vec high vhigh)
  575.       (if (Math-zerop vlow)
  576.           (list 'vec low vlow)
  577.         (if deriv
  578.         (math-newton-search-root expr deriv nil nil nil nil
  579.                      low vlow high vhigh)
  580.           (math-bisect-root expr low vlow high vhigh))))
  581.       (math-reject-arg (list 'intv 3 low high)
  582.                "*Unable to find a sign change in this interval")))
  583. )
  584.  
  585. ;;; "rtbis"  (but we should be using Brent's method)
  586. (defun math-bisect-root (expr low vlow high vhigh)
  587.   (let ((step (math-sub-float high low))
  588.     (pos (Math-posp vhigh))
  589.     var-DUMMY
  590.     mid vmid)
  591.     (while (not (or (math-nearly-equal low
  592.                        (setq step (math-mul-float
  593.                            step '(float 5 -1))
  594.                          mid (math-add-float low step)))
  595.             (progn
  596.               (setq var-DUMMY mid
  597.                 vmid (math-evaluate-expr expr))
  598.               (Math-zerop vmid))))
  599.       (math-working "bisect" mid)
  600.       (if (eq (Math-posp vmid) pos)
  601.       (setq high mid
  602.         vhigh vmid)
  603.     (setq low mid
  604.           vlow vmid)))
  605.     (list 'vec mid vmid))
  606. )
  607.  
  608. ;;; "mnewt"
  609. (defun math-newton-multi (expr jacob n guess orig-guess limit)
  610.   (let ((m -1)
  611.     (p guess)
  612.     p2 expr-val jacob-val next)
  613.     (while (< (setq p (cdr p) m (1+ m)) n)
  614.       (set (nth 2 (aref math-root-vars m)) (car p)))
  615.     (setq expr-val (math-evaluate-expr expr)
  616.       jacob-val (math-evaluate-expr jacob))
  617.     (or (and (math-constp expr-val)
  618.          (math-constp jacob-val))
  619.     (math-reject-arg guess "*Newton's method encountered a singularity"))
  620.     (setq next (math-add guess (math-div (math-float (math-neg expr-val))
  621.                      (math-float jacob-val)))
  622.       p guess p2 next)
  623.     (math-working "newton" next)
  624.     (while (and (setq p (cdr p) p2 (cdr p2))
  625.         (math-nearly-equal (car p) (car p2))))
  626.     (if p
  627.     (if (Math-lessp (math-abs-approx (math-sub next orig-guess))
  628.             limit)
  629.         (math-newton-multi expr jacob n next orig-guess limit)
  630.       (math-reject-arg nil "*Newton's method failed to converge"))
  631.       (list 'vec next expr-val)))
  632. )
  633.  
  634. (defvar math-root-vars [(var DUMMY var-DUMMY)])
  635.  
  636. (defun math-find-root (expr var guess root-widen)
  637.   (if (eq (car-safe expr) 'vec)
  638.       (let ((n (1- (length expr)))
  639.         (calc-symbolic-mode nil)
  640.         (var-DUMMY nil)
  641.         (jacob (list 'vec))
  642.         p p2 m row)
  643.     (or (eq (car-safe var) 'vec)
  644.         (math-reject-arg var 'vectorp))
  645.     (or (= (length var) (1+ n))
  646.         (math-dimension-error))
  647.     (setq expr (copy-sequence expr))
  648.     (while (>= n (length math-root-vars))
  649.       (let ((symb (intern (concat "math-root-v"
  650.                       (int-to-string
  651.                        (length math-root-vars))))))
  652.         (setq math-root-vars (vconcat math-root-vars
  653.                       (vector (list 'var symb symb))))))
  654.     (setq m -1)
  655.     (while (< (setq m (1+ m)) n)
  656.       (set (nth 2 (aref math-root-vars m)) nil))
  657.     (setq m -1 p var)
  658.     (while (setq m (1+ m) p (cdr p))
  659.       (or (eq (car-safe (car p)) 'var)
  660.           (math-reject-arg var "*Expected a variable"))
  661.       (setq p2 expr)
  662.       (while (setq p2 (cdr p2))
  663.         (setcar p2 (math-expr-subst (car p2) (car p)
  664.                     (aref math-root-vars m)))))
  665.     (or (eq (car-safe guess) 'vec)
  666.         (math-reject-arg guess 'vectorp))
  667.     (or (= (length guess) (1+ n))
  668.         (math-dimension-error))
  669.     (setq guess (copy-sequence guess)
  670.           p guess)
  671.     (while (setq p (cdr p))
  672.       (or (Math-numberp (car guess))
  673.           (math-reject-arg guess 'numberp))
  674.       (setcar p (math-float (car p))))
  675.     (setq p expr)
  676.     (while (setq p (cdr p))
  677.       (if (assq (car-safe (car p)) calc-tweak-eqn-table)
  678.           (setcar p (math-sub (nth 1 (car p)) (nth 2 (car p)))))
  679.       (setcar p (math-evaluate-expr (car p)))
  680.       (setq row (list 'vec)
  681.         m -1)
  682.       (while (< (setq m (1+ m)) n)
  683.         (nconc row (list (math-evaluate-expr
  684.                   (or (calcFunc-deriv (car p)
  685.                           (aref math-root-vars m)
  686.                           nil t)
  687.                   (math-reject-arg
  688.                    expr
  689.                    "*Formulas must be differentiable"))))))
  690.       (nconc jacob (list row)))
  691.     (setq m (math-abs-approx guess))
  692.     (math-newton-multi expr jacob n guess guess
  693.                (if (math-zerop m) '(float 1 3) (math-mul m 10))))
  694.     (or (eq (car-safe var) 'var)
  695.     (math-reject-arg var "*Expected a variable"))
  696.     (or (math-expr-contains expr var)
  697.     (math-reject-arg expr "*Formula does not contain specified variable"))
  698.     (if (assq (car expr) calc-tweak-eqn-table)
  699.     (setq expr (math-sub (nth 1 expr) (nth 2 expr))))
  700.     (math-with-extra-prec 2
  701.       (setq expr (math-expr-subst expr var '(var DUMMY var-DUMMY)))
  702.       (let* ((calc-symbolic-mode nil)
  703.          (var-DUMMY nil)
  704.          (expr (math-evaluate-expr expr))
  705.          (deriv (calcFunc-deriv expr '(var DUMMY var-DUMMY) nil t))
  706.          low high vlow vhigh)
  707.     (and deriv (setq deriv (math-evaluate-expr deriv)))
  708.     (setq guess (math-float guess))
  709.     (if (and (math-numberp guess)
  710.          deriv)
  711.         (math-newton-root expr deriv guess guess
  712.                   (if (math-zerop guess) '(float 1 6)
  713.                 (math-mul (math-abs-approx guess) 100)))
  714.       (if (Math-realp guess)
  715.           (setq low guess
  716.             high guess
  717.             var-DUMMY guess
  718.             vlow (math-evaluate-expr expr)
  719.             vhigh vlow
  720.             root-widen 'point)
  721.         (if (eq (car guess) 'intv)
  722.         (progn
  723.           (or (math-constp guess) (math-reject-arg guess 'constp))
  724.           (setq low (nth 2 guess)
  725.             high (nth 3 guess))
  726.           (if (memq (nth 1 guess) '(0 1))
  727.               (setq low (calcFunc-incr low 1 high)))
  728.           (if (memq (nth 1 guess) '(0 2))
  729.               (setq high (calcFunc-incr high -1 low)))
  730.           (setq var-DUMMY low
  731.             vlow (math-evaluate-expr expr)
  732.             var-DUMMY high
  733.             vhigh (math-evaluate-expr expr)))
  734.           (if (math-complexp guess)
  735.           (math-reject-arg "*Complex root finder must have derivative")
  736.         (math-reject-arg guess 'realp))))
  737.       (if (Math-zerop vlow)
  738.           (list 'vec low vlow)
  739.         (if (Math-zerop vhigh)
  740.         (list 'vec high vhigh)
  741.           (if (and deriv (Math-numberp vlow) (Math-numberp vhigh))
  742.           (math-newton-search-root expr deriv nil nil nil nil
  743.                        low vlow high vhigh)
  744.         (if (or (and (Math-posp vlow) (Math-posp vhigh))
  745.             (and (Math-negp vlow) (Math-negp vhigh))
  746.             (not (Math-numberp vlow))
  747.             (not (Math-numberp vhigh)))
  748.             (math-search-root expr deriv low vlow high vhigh)
  749.           (math-bisect-root expr low vlow high vhigh)))))))))
  750. )
  751.  
  752. (defun calcFunc-root (expr var guess)
  753.   (math-find-root expr var guess nil)
  754. )
  755.  
  756. (defun calcFunc-wroot (expr var guess)
  757.   (math-find-root expr var guess t)
  758. )
  759.  
  760.  
  761.  
  762.  
  763. ;;; The following algorithms come from Numerical Recipes, chapter 10.
  764.  
  765. (defun math-min-eval (expr a)
  766.   (if (Math-vectorp a)
  767.       (let ((m -1))
  768.     (while (setq m (1+ m) a (cdr a))
  769.       (set (nth 2 (aref math-min-vars m)) (car a))))
  770.     (setq var-DUMMY a))
  771.   (setq a (math-evaluate-expr expr))
  772.   (if (Math-ratp a)
  773.       (math-float a)
  774.     (if (eq (car a) 'float)
  775.     a
  776.       (math-reject-arg a 'realp)))
  777. )
  778.  
  779.  
  780. ;;; A bracket for a minimum is a < b < c where f(b) < f(a) and f(b) < f(c).
  781.  
  782. ;;; "mnbrak"
  783. (defun math-widen-min (expr a b)
  784.   (let ((done nil)
  785.     (iters 30)
  786.     incr c va vb vc u vu r q ulim bc ba qr)
  787.     (or b (setq b (math-mul a '(float 101 -2))))
  788.     (setq va (math-min-eval expr a)
  789.       vb (math-min-eval expr b))
  790.     (if (math-lessp-float va vb)
  791.     (setq u a a b b u
  792.           vu va va vb vb vu))
  793.     (setq c (math-add-float b (math-mul-float '(float 161803 -5)
  794.                           (math-sub-float b a)))
  795.       vc (math-min-eval expr c))
  796.     (while (and (not done) (math-lessp-float vc vb))
  797.       (math-working "widen" (list 'intv 0 a c))
  798.       (if (= (setq iters (1- iters)) 0)
  799.       (math-reject-arg nil (format "*Unable to find a %s near the interval"
  800.                        math-min-or-max)))
  801.       (setq bc (math-sub-float b c)
  802.         ba (math-sub-float b a)
  803.         r (math-mul-float ba (math-sub-float vb vc))
  804.         q (math-mul-float bc (math-sub-float vb va))
  805.         qr (math-sub-float q r))
  806.       (if (math-lessp-float (math-abs qr) '(float 1 -20))
  807.       (setq qr (if (math-negp qr) '(float -1 -20) '(float 1 -20))))
  808.       (setq u (math-sub-float
  809.            b
  810.            (math-div-float (math-sub-float (math-mul-float bc q)
  811.                            (math-mul-float ba r))
  812.                    (math-mul-float '(float 2 0) qr)))
  813.         ulim (math-add-float b (math-mul-float '(float -1 2) bc))
  814.         incr (math-negp bc))
  815.       (if (if incr (math-lessp-float b u) (math-lessp-float u b))
  816.       (if (if incr (math-lessp-float u c) (math-lessp-float c u))
  817.           (if (math-lessp-float (setq vu (math-min-eval expr u)) vc)
  818.           (setq a b  va vb
  819.             b u  vb vu
  820.             done t)
  821.         (if (math-lessp-float vb vu)
  822.             (setq c u  vc vu
  823.               done t)
  824.           (setq u (math-add-float c (math-mul-float '(float -161803 -5)
  825.                                 bc))
  826.             vu (math-min-eval expr u))))
  827.         (if (if incr (math-lessp-float u ulim) (math-lessp-float ulim u))
  828.         (if (math-lessp-float (setq vu (math-min-eval expr u)) vc)
  829.             (setq b c  vb vc
  830.               c u  vc vu
  831.               u (math-add-float c (math-mul-float
  832.                            '(float -161803 -5)
  833.                            (math-sub-float b c)))
  834.               vu (math-min-eval expr u)))
  835.           (setq u ulim
  836.             vu (math-min-eval expr u))))
  837.     (setq u (math-add-float c (math-mul-float '(float -161803 -5)
  838.                           bc))
  839.           vu (math-min-eval expr u)))
  840.       (setq a b  va vb
  841.         b c  vb vc
  842.         c u  vc vu))
  843.     (if (math-lessp-float a c)
  844.     (list a va b vb c vc)
  845.       (list c vc b vb a va)))
  846. )
  847.  
  848. (defun math-narrow-min (expr a c intv)
  849.   (let ((xvals (list a c))
  850.     (yvals (list (math-min-eval expr a)
  851.              (math-min-eval expr c)))
  852.     (levels 0)
  853.     (step (math-sub-float c a))
  854.     (found nil)
  855.     xp yp b)
  856.     (while (and (<= (setq levels (1+ levels)) 5)
  857.         (not found))
  858.       (setq xp xvals
  859.         yp yvals
  860.         step (math-mul-float step '(float 497 -3)))
  861.       (while (and (cdr xp) (not found))
  862.     (setq b (math-add-float (car xp) step))
  863.     (math-working "search" b)
  864.     (setcdr xp (cons b (cdr xp)))
  865.     (setcdr yp (cons (math-min-eval expr b) (cdr yp)))
  866.     (if (and (math-lessp-float (nth 1 yp) (car yp))
  867.          (math-lessp-float (nth 1 yp) (nth 2 yp)))
  868.         (setq found t)
  869.       (setq xp (cdr xp)
  870.         yp (cdr yp))
  871.       (if (and (cdr (cdr yp))
  872.            (math-lessp-float (nth 1 yp) (car yp))
  873.            (math-lessp-float (nth 1 yp) (nth 2 yp)))
  874.           (setq found t)
  875.         (setq xp (cdr xp)
  876.           yp (cdr yp))))))
  877.     (if found
  878.     (list (car xp) (car yp)
  879.           (nth 1 xp) (nth 1 yp)
  880.           (nth 2 xp) (nth 2 yp))
  881.       (or (if (math-lessp-float (car yvals) (nth 1 yvals))
  882.           (and (memq (nth 1 intv) '(2 3))
  883.            (let ((min (car yvals)))
  884.              (while (and (setq yvals (cdr yvals))
  885.                  (math-lessp-float min (car yvals))))
  886.              (and (not yvals)
  887.               (list (nth 2 intv) min))))
  888.         (and (memq (nth 1 intv) '(1 3))
  889.          (setq yvals (nreverse yvals))
  890.          (let ((min (car yvals)))
  891.            (while (and (setq yvals (cdr yvals))
  892.                    (math-lessp-float min (car yvals))))
  893.            (and (not yvals)
  894.             (list (nth 3 intv) min)))))
  895.       (math-reject-arg nil (format "*Unable to find a %s in the interval"
  896.                        math-min-or-max)))))
  897. )
  898.  
  899. ;;; "brent"
  900. (defun math-brent-min (expr prec a va x vx b vb)
  901.   (let ((iters (+ 20 (* 5 prec)))
  902.     (w x)
  903.     (vw vx)
  904.     (v x)
  905.     (vv vx)
  906.     (tol (list 'float 1 (- -1 prec)))
  907.     (zeps (list 'float 1 (- -5 prec)))
  908.     (e '(float 0 0))
  909.     u vu xm tol1 tol2 etemp p q r xv xw)
  910.     (while (progn
  911.          (setq xm (math-mul-float '(float 5 -1)
  912.                       (math-add-float a b))
  913.            tol1 (math-add-float
  914.              zeps
  915.              (math-mul-float tol (math-abs x)))
  916.            tol2 (math-mul-float tol1 '(float 2 0)))
  917.          (math-lessp-float (math-sub-float tol2
  918.                            (math-mul-float
  919.                         '(float 5 -1)
  920.                         (math-sub-float b a)))
  921.                    (math-abs (math-sub-float x xm))))
  922.       (if (= (setq iters (1- iters)) 0)
  923.       (math-reject-arg nil (format "*Unable to converge on a %s"
  924.                        math-min-or-max)))
  925.       (math-working "brent" x)
  926.       (if (math-lessp-float (math-abs e) tol1)
  927.       (setq e (if (math-lessp-float x xm)
  928.               (math-sub-float b x)
  929.             (math-sub-float a x))
  930.         d (math-mul-float '(float 381966 -6) e))
  931.     (setq xw (math-sub-float x w)
  932.           r (math-mul-float xw (math-sub-float vx vv))
  933.           xv (math-sub-float x v)
  934.           q (math-mul-float xv (math-sub-float vx vw))
  935.           p (math-sub-float (math-mul-float xv q)
  936.                 (math-mul-float xw r))
  937.           q (math-mul-float '(float 2 0) (math-sub-float q r)))
  938.     (if (math-posp q)
  939.         (setq p (math-neg-float p))
  940.       (setq q (math-neg-float q)))
  941.     (setq etemp e
  942.           e d)
  943.     (if (and (math-lessp-float (math-abs p)
  944.                    (math-abs (math-mul-float
  945.                           '(float 5 -1)
  946.                           (math-mul-float q etemp))))
  947.          (math-lessp-float (math-mul-float
  948.                     q (math-sub-float a x)) p)
  949.          (math-lessp-float p (math-mul-float
  950.                       q (math-sub-float b x))))
  951.         (progn
  952.           (setq d (math-div-float p q)
  953.             u (math-add-float x d))
  954.           (if (or (math-lessp-float (math-sub-float u a) tol2)
  955.               (math-lessp-float (math-sub-float b u) tol2))
  956.           (setq d (if (math-lessp-float xm x)
  957.                   (math-neg-float tol1)
  958.                 tol1))))
  959.       (setq e (if (math-lessp-float x xm)
  960.               (math-sub-float b x)
  961.             (math-sub-float a x))
  962.         d (math-mul-float '(float 381966 -6) e))))
  963.       (setq u (math-add-float x
  964.                   (if (math-lessp-float (math-abs d) tol1)
  965.                   (if (math-negp d)
  966.                       (math-neg-float tol1)
  967.                     tol1)
  968.                 d))
  969.         vu (math-min-eval expr u))
  970.       (if (math-lessp-float vx vu)
  971.       (progn
  972.         (if (math-lessp-float u x)
  973.         (setq a u)
  974.           (setq b u))
  975.         (if (or (equal w x)
  976.             (not (math-lessp-float vw vu)))
  977.         (setq v w  vv vw
  978.               w u  vw vu)
  979.           (if (or (equal v x)
  980.               (equal v w)
  981.               (not (math-lessp-float vv vu)))
  982.           (setq v u  vv vu))))
  983.     (if (math-lessp-float u x)
  984.         (setq b x)
  985.       (setq a x))
  986.     (setq v w  vv vw
  987.           w x  vw vx
  988.           x u  vx vu)))
  989.     (list 'vec x vx))
  990. )
  991.  
  992. ;;; "powell"
  993. (defun math-powell-min (expr n guesses prec)
  994.   (let* ((f1dim (math-line-min-func expr n))
  995.      (xi (calcFunc-idn 1 n))
  996.      (p (cons 'vec (mapcar 'car guesses)))
  997.      (pt p)
  998.      (ftol (list 'float 1 (- prec)))
  999.      (fret (math-min-eval expr p))
  1000.      fp ptt fptt xit i ibig del diff res)
  1001.     (while (progn
  1002.          (setq fp fret
  1003.            ibig 0
  1004.            del '(float 0 0)
  1005.            i 0)
  1006.          (while (<= (setq i (1+ i)) n)
  1007.            (setq fptt fret
  1008.              res (math-line-min f1dim p
  1009.                     (math-mat-col xi i)
  1010.                     n prec)
  1011.              p (let ((calc-internal-prec prec))
  1012.              (math-normalize (car res)))
  1013.              fret (nth 2 res)
  1014.              diff (math-abs (math-sub-float fptt fret)))
  1015.            (if (math-lessp-float del diff)
  1016.            (setq del diff
  1017.              ibig i)))
  1018.          (math-lessp-float
  1019.           (math-mul-float ftol
  1020.                   (math-add-float (math-abs fp)
  1021.                           (math-abs fret)))
  1022.           (math-mul-float '(float 2 0)
  1023.                   (math-abs (math-sub-float fp
  1024.                             fret)))))
  1025.       (setq ptt (math-sub (math-mul '(float 2 0) p) pt)
  1026.         xit (math-sub p pt)
  1027.         pt p
  1028.         fptt (math-min-eval expr ptt))
  1029.       (if (and (math-lessp-float fptt fp)
  1030.            (math-lessp-float
  1031.         (math-mul-float
  1032.          (math-mul-float '(float 2 0)
  1033.                  (math-add-float
  1034.                   (math-sub-float fp
  1035.                           (math-mul-float '(float 2 0)
  1036.                                   fret))
  1037.                   fptt))
  1038.          (math-sqr-float (math-sub-float
  1039.                   (math-sub-float fp fret) del)))
  1040.         (math-mul-float del
  1041.                 (math-sqr-float (math-sub-float fp fptt)))))
  1042.       (progn
  1043.         (setq res (math-line-min f1dim p xit n prec)
  1044.           p (car res)
  1045.           fret (nth 2 res)
  1046.           i 0)
  1047.         (while (<= (setq i (1+ i)) n)
  1048.           (setcar (nthcdr ibig (nth i xi))
  1049.               (nth i (nth 1 res)))))))
  1050.     (list 'vec p fret))
  1051. )
  1052.  
  1053. (defun math-line-min-func (expr n)
  1054.   (let ((m -1))
  1055.     (while (< (setq m (1+ m)) n)
  1056.       (set (nth 2 (aref math-min-vars m))
  1057.        (list '+
  1058.          (list '*
  1059.                '(var DUMMY var-DUMMY)
  1060.                (list 'calcFunc-mrow '(var line-xi line-xi) (1+ m)))
  1061.          (list 'calcFunc-mrow '(var line-p line-p) (1+ m)))))
  1062.     (math-evaluate-expr expr))
  1063. )
  1064.  
  1065. (defun math-line-min (f1dim line-p line-xi n prec)
  1066.   (let* ((var-DUMMY nil)
  1067.      (expr (math-evaluate-expr f1dim))
  1068.      (params (math-widen-min expr '(float 0 0) '(float 1 0)))
  1069.      (res (apply 'math-brent-min expr prec params))
  1070.      (xi (math-mul (nth 1 res) line-xi)))
  1071.     (list (math-add line-p xi) xi (nth 2 res)))
  1072. )
  1073.  
  1074.  
  1075. (defvar math-min-vars [(var DUMMY var-DUMMY)])
  1076.  
  1077. (defun math-find-minimum (expr var guess min-widen)
  1078.   (let* ((calc-symbolic-mode nil)
  1079.      (n 0)
  1080.      (var-DUMMY nil)
  1081.      (isvec (math-vectorp var))
  1082.      g guesses)
  1083.     (or (math-vectorp var)
  1084.     (setq var (list 'vec var)))
  1085.     (or (math-vectorp guess)
  1086.     (setq guess (list 'vec guess)))
  1087.     (or (= (length var) (length guess))
  1088.     (math-dimension-error))
  1089.     (while (setq var (cdr var) guess (cdr guess))
  1090.       (or (eq (car-safe (car var)) 'var)
  1091.       (math-reject-arg (car vg) "*Expected a variable"))
  1092.       (or (math-expr-contains expr (car var))
  1093.       (math-reject-arg (car var)
  1094.                "*Formula does not contain specified variable"))
  1095.       (while (>= (1+ n) (length math-min-vars))
  1096.     (let ((symb (intern (concat "math-min-v"
  1097.                     (int-to-string
  1098.                      (length math-min-vars))))))
  1099.       (setq math-min-vars (vconcat math-min-vars
  1100.                        (vector (list 'var symb symb))))))
  1101.       (set (nth 2 (aref math-min-vars n)) nil)
  1102.       (set (nth 2 (aref math-min-vars (1+ n))) nil)
  1103.       (if (math-complexp (car guess))
  1104.       (setq expr (math-expr-subst expr
  1105.                       (car var)
  1106.                       (list '+ (aref math-min-vars n)
  1107.                         (list '*
  1108.                           (aref math-min-vars (1+ n))
  1109.                           '(cplx 0 1))))
  1110.         guesses (let ((g (math-float (math-complex (car guess)))))
  1111.               (cons (list (nth 2 g) nil nil)
  1112.                 (cons (list (nth 1 g) nil nil t)
  1113.                       guesses)))
  1114.         n (+ n 2))
  1115.     (setq expr (math-expr-subst expr
  1116.                     (car var)
  1117.                     (aref math-min-vars n))
  1118.           guesses (cons (if (math-realp (car guess))
  1119.                 (list (math-float (car guess)) nil nil)
  1120.                   (if (and (eq (car-safe (car guess)) 'intv)
  1121.                        (math-constp (car guess)))
  1122.                   (list (math-mul
  1123.                      (math-add (nth 2 (car guess))
  1124.                            (nth 3 (car guess)))
  1125.                      '(float 5 -1))
  1126.                     (math-float (nth 2 (car guess)))
  1127.                     (math-float (nth 3 (car guess)))
  1128.                     (car guess))
  1129.                 (math-reject-arg (car guess) 'realp)))
  1130.                 guesses)
  1131.           n (1+ n))))
  1132.     (setq guesses (nreverse guesses)
  1133.       expr (math-evaluate-expr expr))
  1134.     (if (= n 1)
  1135.     (let* ((params (if (nth 1 (car guesses))
  1136.                (if min-widen
  1137.                    (math-widen-min expr
  1138.                            (nth 1 (car guesses))
  1139.                            (nth 2 (car guesses)))
  1140.                  (math-narrow-min expr
  1141.                           (nth 1 (car guesses))
  1142.                           (nth 2 (car guesses))
  1143.                           (nth 3 (car guesses))))
  1144.              (math-widen-min expr
  1145.                      (car (car guesses))
  1146.                      nil)))
  1147.            (prec calc-internal-prec)
  1148.            (res (if (cdr (cdr params))
  1149.             (math-with-extra-prec (+ calc-internal-prec 2)
  1150.               (apply 'math-brent-min expr prec params))
  1151.               (cons 'vec params))))
  1152.       (if isvec
  1153.           (list 'vec (list 'vec (nth 1 res)) (nth 2 res))
  1154.         res))
  1155.       (let* ((prec calc-internal-prec)
  1156.          (res (math-with-extra-prec (+ calc-internal-prec 2)
  1157.             (math-powell-min expr n guesses prec)))
  1158.          (p (nth 1 res))
  1159.          (vec (list 'vec)))
  1160.     (while (setq p (cdr p))
  1161.       (if (nth 3 (car guesses))
  1162.           (progn
  1163.         (nconc vec (list (math-normalize
  1164.                   (list 'cplx (car p) (nth 1 p)))))
  1165.         (setq p (cdr p)
  1166.               guesses (cdr guesses)))
  1167.         (nconc vec (list (car p))))
  1168.       (setq guesses (cdr guesses)))
  1169.     (if isvec
  1170.         (list 'vec vec (nth 2 res))
  1171.       (list 'vec (nth 1 vec) (nth 2 res))))))
  1172. )
  1173. (setq math-min-or-max "minimum")
  1174.  
  1175. (defun calcFunc-minimize (expr var guess)
  1176.   (let ((calc-internal-prec (max (/ calc-internal-prec 2) 3))
  1177.     (math-min-or-max "minimum"))
  1178.     (math-find-minimum (math-normalize expr)
  1179.                (math-normalize var)
  1180.                (math-normalize guess) nil))
  1181. )
  1182.  
  1183. (defun calcFunc-wminimize (expr var guess)
  1184.   (let ((calc-internal-prec (max (/ calc-internal-prec 2) 3))
  1185.     (math-min-or-max "minimum"))
  1186.     (math-find-minimum (math-normalize expr)
  1187.                (math-normalize var)
  1188.                (math-normalize guess) t))
  1189. )
  1190.  
  1191. (defun calcFunc-maximize (expr var guess)
  1192.   (let* ((calc-internal-prec (max (/ calc-internal-prec 2) 3))
  1193.      (math-min-or-max "maximum")
  1194.      (res (math-find-minimum (math-normalize (math-neg expr))
  1195.                  (math-normalize var)
  1196.                  (math-normalize guess) nil)))
  1197.     (list 'vec (nth 1 res) (math-neg (nth 2 res))))
  1198. )
  1199.  
  1200. (defun calcFunc-wmaximize (expr var guess)
  1201.   (let* ((calc-internal-prec (max (/ calc-internal-prec 2) 3))
  1202.      (math-min-or-max "maximum")
  1203.      (res (math-find-minimum (math-normalize (math-neg expr))
  1204.                  (math-normalize var)
  1205.                  (math-normalize guess) t)))
  1206.     (list 'vec (nth 1 res) (math-neg (nth 2 res))))
  1207. )
  1208.  
  1209.  
  1210.  
  1211.  
  1212. ;;; The following algorithms come from Numerical Recipes, chapter 3.
  1213.  
  1214. (defun calcFunc-polint (data x)
  1215.   (or (math-matrixp data) (math-reject-arg data 'matrixp))
  1216.   (or (= (length data) 3)
  1217.       (math-reject-arg data "*Wrong number of data rows"))
  1218.   (or (> (length (nth 1 data)) 2)
  1219.       (math-reject-arg data "*Too few data points"))
  1220.   (if (and (math-vectorp x) (or (math-constp x) math-expand-formulas))
  1221.       (cons 'vec (mapcar (function (lambda (x) (calcFunc-polint data x)))
  1222.              (cdr x)))
  1223.     (or (math-objectp x) math-expand-formulas (math-reject-arg x 'objectp))
  1224.     (math-with-extra-prec 2
  1225.       (cons 'vec (math-poly-interp (cdr (nth 1 data)) (cdr (nth 2 data)) x
  1226.                    nil))))
  1227. )
  1228. (put 'calcFunc-polint 'math-expandable t)
  1229.  
  1230.  
  1231. (defun calcFunc-ratint (data x)
  1232.   (or (math-matrixp data) (math-reject-arg data 'matrixp))
  1233.   (or (= (length data) 3)
  1234.       (math-reject-arg data "*Wrong number of data rows"))
  1235.   (or (> (length (nth 1 data)) 2)
  1236.       (math-reject-arg data "*Too few data points"))
  1237.   (if (and (math-vectorp x) (or (math-constp x) math-expand-formulas))
  1238.       (cons 'vec (mapcar (function (lambda (x) (calcFunc-ratint data x)))
  1239.              (cdr x)))
  1240.     (or (math-objectp x) math-expand-formulas (math-reject-arg x 'objectp))
  1241.     (math-with-extra-prec 2
  1242.       (cons 'vec (math-poly-interp (cdr (nth 1 data)) (cdr (nth 2 data)) x
  1243.                    (cdr (cdr (cdr (nth 1 data))))))))
  1244. )
  1245. (put 'calcFunc-ratint 'math-expandable t)
  1246.  
  1247.  
  1248. (defun math-poly-interp (xa ya x ratp)
  1249.   (let ((n (length xa))
  1250.     (dif nil)
  1251.     (ns nil)
  1252.     (xax nil)
  1253.     (c (copy-sequence ya))
  1254.     (d (copy-sequence ya))
  1255.     (i 0)
  1256.     (m 0)
  1257.     y dy (xp xa) xpm cp dp temp)
  1258.     (while (<= (setq i (1+ i)) n)
  1259.       (setq xax (cons (math-sub (car xp) x) xax)
  1260.         xp (cdr xp)
  1261.         temp (math-abs (car xax)))
  1262.       (if (or (null dif) (math-lessp temp dif))
  1263.       (setq dif temp
  1264.         ns i)))
  1265.     (setq xax (nreverse xax)
  1266.       ns (1- ns)
  1267.       y (nth ns ya))
  1268.     (if (math-zerop dif)
  1269.     (list y 0)
  1270.       (while (< (setq m (1+ m)) n)
  1271.     (setq i 0
  1272.           xp xax
  1273.           xpm (nthcdr m xax)
  1274.           cp c
  1275.           dp d)
  1276.     (while (<= (setq i (1+ i)) (- n m))
  1277.       (if ratp
  1278.           (let ((t2 (math-div (math-mul (car xp) (car dp)) (car xpm))))
  1279.         (setq temp (math-div (math-sub (nth 1 cp) (car dp))
  1280.                      (math-sub t2 (nth 1 cp))))
  1281.         (setcar dp (math-mul (nth 1 cp) temp))
  1282.         (setcar cp (math-mul t2 temp)))
  1283.         (if (math-equal (car xp) (car xpm))
  1284.         (math-reject-arg (cons 'vec xa) "*Duplicate X values"))
  1285.         (setq temp (math-div (math-sub (nth 1 cp) (car dp))
  1286.                  (math-sub (car xp) (car xpm))))
  1287.         (setcar dp (math-mul (car xpm) temp))
  1288.         (setcar cp (math-mul (car xp) temp)))
  1289.       (setq cp (cdr cp)
  1290.         dp (cdr dp)
  1291.         xp (cdr xp)
  1292.         xpm (cdr xpm)))
  1293.     (if (< (+ ns ns) (- n m))
  1294.         (setq dy (nth ns c))
  1295.       (setq ns (1- ns)
  1296.         dy (nth ns d)))
  1297.     (setq y (math-add y dy)))
  1298.       (list y dy)))
  1299. )
  1300.  
  1301.  
  1302.  
  1303. ;;; The following algorithms come from Numerical Recipes, chapter 4.
  1304.  
  1305. (defun calcFunc-ninteg (expr var lo hi)
  1306.   (setq lo (math-evaluate-expr lo)
  1307.     hi (math-evaluate-expr hi))
  1308.   (or (math-numberp lo) (math-infinitep lo) (math-reject-arg lo 'numberp))
  1309.   (or (math-numberp hi) (math-infinitep hi) (math-reject-arg hi 'numberp))
  1310.   (if (math-lessp hi lo)
  1311.       (math-neg (calcFunc-ninteg expr var hi lo))
  1312.     (setq expr (math-expr-subst expr var '(var DUMMY var-DUMMY)))
  1313.     (let ((var-DUMMY nil)
  1314.       (calc-symbolic-mode nil)
  1315.       (calc-prefer-frac nil)
  1316.       (sum 0))
  1317.       (setq expr (math-evaluate-expr expr))
  1318.       (if (equal lo '(neg (var inf var-inf)))
  1319.       (let ((thi (if (math-lessp hi '(float -2 0))
  1320.              hi '(float -2 0))))
  1321.         (setq sum (math-ninteg-romberg
  1322.                'math-ninteg-midpoint expr
  1323.              (math-float lo) (math-float thi) 'inf)
  1324.           lo thi)))
  1325.       (if (equal hi '(var inf var-inf))
  1326.       (let ((tlo (if (math-lessp '(float 2 0) lo)
  1327.              lo '(float 2 0))))
  1328.         (setq sum (math-add sum
  1329.                 (math-ninteg-romberg
  1330.                  'math-ninteg-midpoint expr
  1331.                  (math-float tlo) (math-float hi) 'inf))
  1332.           hi tlo)))
  1333.       (or (math-equal lo hi)
  1334.       (setq sum (math-add sum
  1335.                   (math-ninteg-romberg
  1336.                    'math-ninteg-midpoint expr
  1337.                    (math-float lo) (math-float hi) nil))))
  1338.       sum))
  1339. )
  1340.  
  1341.  
  1342. ;;; Open Romberg method; "qromo" in section 4.4.
  1343. (defun math-ninteg-romberg (func expr lo hi mode)    
  1344.   (let ((curh '(float 1 0))
  1345.     (h nil)
  1346.     (s nil)
  1347.     (j 0)
  1348.     (ss nil)
  1349.     (prec calc-internal-prec)
  1350.     (integ-temp nil))
  1351.     (math-with-extra-prec 2
  1352.       ;; Limit on "j" loop must be 14 or less to keep "it" from overflowing.
  1353.       (or (while (and (null ss) (<= (setq j (1+ j)) 8))
  1354.         (setq s (nconc s (list (funcall func expr lo hi mode)))
  1355.           h (nconc h (list curh)))
  1356.         (if (>= j 3)
  1357.         (let ((res (math-poly-interp h s '(float 0 0) nil)))
  1358.           (if (math-lessp (math-abs (nth 1 res))
  1359.                   (calcFunc-scf (math-abs (car res))
  1360.                         (- prec)))
  1361.               (setq math-ninteg-convergence j
  1362.                 ss (car res)))))
  1363.         (if (>= j 5)
  1364.         (setq s (cdr s)
  1365.               h (cdr h)))
  1366.         (setq curh (math-div-float curh '(float 9 0))))
  1367.       ss
  1368.       (math-reject-arg nil (format "*Integral failed to converge")))))
  1369. )
  1370.  
  1371.  
  1372. (defun math-ninteg-evaluate (expr x mode)
  1373.   (if (eq mode 'inf)
  1374.       (setq x (math-div '(float 1 0) x)))
  1375.   (let* ((var-DUMMY x)
  1376.      (res (math-evaluate-expr expr)))
  1377.     (or (Math-numberp res)
  1378.     (math-reject-arg res "*Integrand does not evaluate to a number"))
  1379.     (if (eq mode 'inf)
  1380.     (setq res (math-mul res (math-sqr x))))
  1381.     res)
  1382. )
  1383.  
  1384.  
  1385. (defun math-ninteg-midpoint (expr lo hi mode)    ; uses "integ-temp"
  1386.   (if (eq mode 'inf)
  1387.       (let ((math-infinite-mode t) temp)
  1388.     (setq temp (math-div 1 lo)
  1389.           lo (math-div 1 hi)
  1390.           hi temp)))
  1391.   (if integ-temp
  1392.       (let* ((it3 (* 3 (car integ-temp)))
  1393.          (math-working-step-2 (* 2 (car integ-temp)))
  1394.          (math-working-step 0)
  1395.          (range (math-sub hi lo))
  1396.          (del (math-div range (math-float it3)))
  1397.          (del2 (math-add del del))
  1398.          (del3 (math-add del del2))
  1399.          (x (math-add lo (math-mul '(float 5 -1) del)))
  1400.          (sum '(float 0 0))
  1401.          (j 0) temp)
  1402.     (while (<= (setq j (1+ j)) (car integ-temp))
  1403.       (setq math-working-step (1+ math-working-step)
  1404.         temp (math-ninteg-evaluate expr x mode)
  1405.         math-working-step (1+ math-working-step)
  1406.         sum (math-add sum (math-add temp (math-ninteg-evaluate
  1407.                           expr (math-add x del2)
  1408.                           mode)))
  1409.         x (math-add x del3)))
  1410.     (setq integ-temp (list it3
  1411.                    (math-add (math-div (nth 1 integ-temp)
  1412.                            '(float 3 0))
  1413.                      (math-mul sum del)))))
  1414.     (setq integ-temp (list 1 (math-mul
  1415.                   (math-sub hi lo)
  1416.                   (math-ninteg-evaluate
  1417.                    expr
  1418.                    (math-mul (math-add lo hi) '(float 5 -1))
  1419.                    mode)))))
  1420.   (nth 1 integ-temp)
  1421. )
  1422.  
  1423.  
  1424.  
  1425.  
  1426.  
  1427. ;;; The following algorithms come from Numerical Recipes, chapter 14.
  1428.  
  1429. (setq math-dummy-vars [(var DUMMY var-DUMMY)])
  1430. (setq math-dummy-counter 0)
  1431.  
  1432. (defun math-dummy-variable ()
  1433.   (if (= math-dummy-counter (length math-dummy-vars))
  1434.       (let ((symb (intern (format "math-dummy-%d" math-dummy-counter))))
  1435.     (setq math-dummy-vars (vconcat math-dummy-vars
  1436.                        (vector (list 'var symb symb))))))
  1437.   (set (nth 2 (aref math-dummy-vars math-dummy-counter)) nil)
  1438.   (prog1
  1439.       (aref math-dummy-vars math-dummy-counter)
  1440.     (setq math-dummy-counter (1+ math-dummy-counter)))
  1441. )
  1442.  
  1443.  
  1444.  
  1445. (defun calcFunc-fit (expr vars &optional coefs data)
  1446.   (let ((math-in-fit 10))
  1447.     (math-with-extra-prec 2
  1448.       (math-general-fit expr vars coefs data nil)))
  1449. )
  1450.  
  1451. (defun calcFunc-efit (expr vars &optional coefs data)
  1452.   (let ((math-in-fit 10))
  1453.     (math-with-extra-prec 2
  1454.       (math-general-fit expr vars coefs data 'sdev)))
  1455. )
  1456.  
  1457. (defun calcFunc-xfit (expr vars &optional coefs data)
  1458.   (let ((math-in-fit 10))
  1459.     (math-with-extra-prec 2
  1460.       (math-general-fit expr vars coefs data 'full)))
  1461. )
  1462.  
  1463. (defun math-general-fit (expr vars coefs data mode)
  1464.   (let ((calc-simplify-mode nil)
  1465.     (math-dummy-counter math-dummy-counter)
  1466.     (math-in-fit 1)
  1467.     (extended (eq mode 'full))
  1468.     (first-coef math-dummy-counter)
  1469.     first-var
  1470.     (plain-expr expr)
  1471.     orig-expr
  1472.     have-sdevs need-chisq chisq
  1473.     (x-funcs nil)
  1474.     (y-filter nil)
  1475.     y-dummy
  1476.     (coef-filters nil)
  1477.     new-coefs
  1478.     (xy-values nil)
  1479.     (weights nil)
  1480.     (var-YVAL nil) (var-YVALX nil)
  1481.     covar beta
  1482.     n nn m mm v dummy p)
  1483.  
  1484.     ;; Validate and parse arguments.
  1485.     (or data
  1486.     (if coefs
  1487.         (setq data coefs
  1488.           coefs nil)
  1489.       (if (math-vectorp expr)
  1490.           (if (memq (length expr) '(3 4))
  1491.           (setq data vars
  1492.             vars (nth 2 expr)
  1493.             coefs (nth 3 expr)
  1494.             expr (nth 1 expr))
  1495.         (math-dimension-error))
  1496.         (setq data vars
  1497.           vars nil
  1498.           coefs nil))))
  1499.     (or (math-matrixp data) (math-reject-arg data 'matrixp))
  1500.     (setq v (1- (length data))
  1501.       n (1- (length (nth 1 data))))
  1502.     (or (math-vectorp vars) (null vars)
  1503.     (setq vars (list 'vec vars)))
  1504.     (or (math-vectorp coefs) (null coefs)
  1505.     (setq coefs (list 'vec coefs)))
  1506.     (or coefs
  1507.     (setq coefs (cons 'vec (math-all-vars-but expr vars))))
  1508.     (or vars
  1509.     (if (<= (1- (length coefs)) v)
  1510.         (math-reject-arg coefs "*Not enough variables in model")
  1511.       (setq coefs (copy-sequence coefs))
  1512.       (let ((p (nthcdr (- (length coefs) v
  1513.                   (if (eq (car-safe expr) 'calcFunc-eq) 1 0))
  1514.                coefs)))
  1515.         (setq vars (cons 'vec (cdr p)))
  1516.         (setcdr p nil))))
  1517.     (or (= (1- (length vars)) v)
  1518.     (= (length vars) v)
  1519.     (math-reject-arg vars "*Number of variables does not match data"))
  1520.     (setq m (1- (length coefs)))
  1521.     (if (< m 1)
  1522.     (math-reject-arg coefs "*Need at least one parameter"))
  1523.  
  1524.     ;; Rewrite expr in terms of fitparam and fitvar, make into an equation.
  1525.     (setq p coefs)
  1526.     (while (setq p (cdr p))
  1527.       (or (eq (car-safe (car p)) 'var)
  1528.       (math-reject-arg (car p) "*Expected a variable"))
  1529.       (setq dummy (math-dummy-variable)
  1530.         expr (math-expr-subst expr (car p)
  1531.                   (list 'calcFunc-fitparam
  1532.                     (- math-dummy-counter first-coef)))))
  1533.     (setq first-var math-dummy-counter
  1534.       p vars)
  1535.     (while (setq p (cdr p))
  1536.       (or (eq (car-safe (car p)) 'var)
  1537.       (math-reject-arg (car p) "*Expected a variable"))
  1538.       (setq dummy (math-dummy-variable)
  1539.         expr (math-expr-subst expr (car p)
  1540.                   (list 'calcFunc-fitvar
  1541.                     (- math-dummy-counter first-var)))))
  1542.     (if (< math-dummy-counter (+ first-var v))
  1543.     (setq dummy (math-dummy-variable))) ; dependent variable may be unnamed
  1544.     (setq y-dummy dummy
  1545.       orig-expr expr)
  1546.     (or (eq (car-safe expr) 'calcFunc-eq)
  1547.     (setq expr (list 'calcFunc-eq (list 'calcFunc-fitvar v) expr)))
  1548.  
  1549.     (let ((calc-symbolic-mode nil))
  1550.  
  1551.       ;; Apply rewrites to put expr into a linear-like form.
  1552.       (setq expr (math-evaluate-expr expr)
  1553.         expr (math-rewrite (list 'calcFunc-fitmodel expr)
  1554.                    '(var FitRules var-FitRules))
  1555.         math-in-fit 2
  1556.         expr (math-evaluate-expr expr))
  1557.       (or (and (eq (car-safe expr) 'calcFunc-fitsystem)
  1558.            (= (length expr) 4)
  1559.            (math-vectorp (nth 2 expr))
  1560.            (math-vectorp (nth 3 expr))
  1561.            (> (length (nth 2 expr)) 1)
  1562.            (= (length (nth 3 expr)) (1+ m)))
  1563.       (math-reject-arg plain-expr "*Model expression is too complex"))
  1564.       (setq y-filter (nth 1 expr)
  1565.         x-funcs (vconcat (cdr (nth 2 expr)))
  1566.         coef-filters (nth 3 expr)
  1567.         mm (length x-funcs))
  1568.       (if (equal y-filter y-dummy)
  1569.       (setq y-filter nil))
  1570.  
  1571.       ;; Build the (square) system of linear equations to be solved.
  1572.       (setq beta (cons 'vec (make-list mm 0))
  1573.         covar (cons 'vec (mapcar 'copy-sequence (make-list mm beta))))
  1574.       (let* ((ptrs (vconcat (cdr data)))
  1575.          (isigsq 1)
  1576.          (xvals (make-vector mm 0))
  1577.          (i 0)
  1578.          j k xval yval sigmasqr wt covj covjk covk betaj lud)
  1579.     (while (<= (setq i (1+ i)) n)
  1580.  
  1581.       ;; Assign various independent variables for this data point.
  1582.       (setq j 0
  1583.         sigmasqr nil)
  1584.       (while (< j v)
  1585.         (aset ptrs j (cdr (aref ptrs j)))
  1586.         (setq xval (car (aref ptrs j)))
  1587.         (if (= j (1- v))
  1588.         (if sigmasqr
  1589.             (progn
  1590.               (if (eq (car-safe xval) 'sdev)
  1591.               (setq sigmasqr (math-add (math-sqr (nth 2 xval))
  1592.                            sigmasqr)
  1593.                 xval (nth 1 xval)))
  1594.               (if y-filter
  1595.               (setq xval (math-make-sdev xval
  1596.                              (math-sqrt sigmasqr))))))
  1597.           (if (eq (car-safe xval) 'sdev)
  1598.           (setq sigmasqr (math-add (math-sqr (nth 2 xval))
  1599.                        (or sigmasqr 0))
  1600.             xval (nth 1 xval))))
  1601.         (set (nth 2 (aref math-dummy-vars (+ first-var j))) xval)
  1602.         (setq j (1+ j)))
  1603.  
  1604.       ;; Compute Y value for this data point.
  1605.       (if y-filter
  1606.           (setq yval (math-evaluate-expr y-filter))
  1607.         (setq yval (symbol-value (nth 2 y-dummy))))
  1608.       (if (eq (car-safe yval) 'sdev)
  1609.           (setq sigmasqr (math-sqr (nth 2 yval))
  1610.             yval (nth 1 yval)))
  1611.       (if (= i 1)
  1612.           (setq have-sdevs sigmasqr
  1613.             need-chisq (or extended
  1614.                    (and (eq mode 'sdev) (not have-sdevs)))))
  1615.       (if have-sdevs
  1616.           (if sigmasqr
  1617.           (progn
  1618.             (setq isigsq (math-div 1 sigmasqr))
  1619.             (if need-chisq
  1620.             (setq weights (cons isigsq weights))))
  1621.         (math-reject-arg yval "*Mixed error forms and plain numbers"))
  1622.         (if sigmasqr
  1623.         (math-reject-arg yval "*Mixed error forms and plain numbers")))
  1624.  
  1625.       ;; Compute X values for this data point and update covar and beta.
  1626.       (if (eq (car-safe xval) 'sdev)
  1627.           (set (nth 2 y-dummy) (nth 1 xval)))
  1628.       (setq j 0
  1629.         covj covar
  1630.         betaj beta)
  1631.       (while (< j mm)
  1632.         (setq wt (math-evaluate-expr (aref x-funcs j)))
  1633.         (aset xvals j wt)
  1634.         (setq wt (math-mul wt isigsq)
  1635.           betaj (cdr betaj)
  1636.           covjk (car (setq covj (cdr covj)))
  1637.           k 0)
  1638.         (while (<= k j)
  1639.           (setq covjk (cdr covjk))
  1640.           (setcar covjk (math-add (car covjk)
  1641.                       (math-mul wt (aref xvals k))))
  1642.           (setq k (1+ k)))
  1643.         (setcar betaj (math-add (car betaj) (math-mul wt yval)))
  1644.         (setq j (1+ j)))
  1645.       (if need-chisq
  1646.           (setq xy-values (cons (append xvals (list yval)) xy-values))))
  1647.  
  1648.     ;; Fill in symmetric half of covar matrix.
  1649.     (setq j 0
  1650.           covj covar)
  1651.     (while (< j (1- mm))
  1652.       (setq k j
  1653.         j (1+ j)
  1654.         covjk (nthcdr j (car (setq covj (cdr covj))))
  1655.         covk (nthcdr j covar))
  1656.       (while (< (setq k (1+ k)) mm)
  1657.         (setq covjk (cdr covjk)
  1658.           covk (cdr covk))
  1659.         (setcar covjk (nth j (car covk))))))
  1660.  
  1661.       ;; Solve the linear system.
  1662.       (if mode
  1663.       (progn
  1664.         (setq covar (math-matrix-inv-raw covar))
  1665.         (if covar
  1666.         (setq beta (math-mul covar beta))
  1667.           (if (math-zerop (math-abs beta))
  1668.           (setq covar (calcFunc-diag 0 (1- (length beta))))
  1669.         (math-reject-arg orig-expr "*Singular matrix")))
  1670.         (or (math-vectorp covar)
  1671.         (setq covar (list 'vec (list 'vec covar)))))
  1672.     (setq beta (math-div beta covar)))
  1673.  
  1674.       ;; Compute chi-square statistic if necessary.
  1675.       (if need-chisq
  1676.       (let (bp xp sum)
  1677.         (setq chisq 0)
  1678.         (while xy-values
  1679.           (setq bp beta
  1680.             xp (car xy-values)
  1681.             sum 0)
  1682.           (while (setq bp (cdr bp))
  1683.         (setq sum (math-add sum (math-mul (car bp) (car xp)))
  1684.               xp (cdr xp)))
  1685.           (setq sum (math-sqr (math-sub (car xp) sum)))
  1686.           (if weights (setq sum (math-mul sum (car weights))))
  1687.           (setq chisq (math-add chisq sum)
  1688.             weights (cdr weights)
  1689.             xy-values (cdr xy-values)))))
  1690.  
  1691.       ;; Convert coefficients back into original terms.
  1692.       (setq new-coefs (copy-sequence beta))
  1693.       (let* ((bp new-coefs)
  1694.          (cp covar)
  1695.          (sigdat 1)
  1696.          (math-in-fit 3)
  1697.          (j 0))
  1698.     (and mode (not have-sdevs)
  1699.          (setq sigdat (if (<= n mm)
  1700.                   0
  1701.                 (math-div chisq (- n mm)))))
  1702.     (if mode
  1703.         (while (setq bp (cdr bp))
  1704.           (setcar bp (math-make-sdev
  1705.               (car bp)
  1706.               (math-sqrt (math-mul (nth (setq j (1+ j))
  1707.                             (car (setq cp (cdr cp))))
  1708.                            sigdat))))))
  1709.     (setq new-coefs (math-evaluate-expr coef-filters))
  1710.     (if calc-fit-to-trail
  1711.         (let ((bp new-coefs)
  1712.           (cp coefs)
  1713.           (vec nil))
  1714.           (while (setq bp (cdr bp) cp (cdr cp))
  1715.         (setq vec (cons (list 'calcFunc-eq (car cp) (car bp)) vec)))
  1716.           (setq calc-fit-to-trail (cons 'vec (nreverse vec)))))))
  1717.  
  1718.     ;; Substitute best-fit coefficients back into original formula.
  1719.     (setq expr (math-multi-subst
  1720.         orig-expr
  1721.         (let ((n v)
  1722.               (vec nil))
  1723.           (while (>= n 1)
  1724.             (setq vec (cons (list 'calcFunc-fitvar n) vec)
  1725.               n (1- n)))
  1726.           (setq n m)
  1727.           (while (>= n 1)
  1728.             (setq vec (cons (list 'calcFunc-fitparam n) vec)
  1729.               n (1- n)))
  1730.           vec)
  1731.         (append (cdr new-coefs) (cdr vars))))
  1732.  
  1733.     ;; Package the result.
  1734.     (math-normalize
  1735.      (if extended
  1736.      (list 'vec expr beta covar
  1737.            (let ((p coef-filters)
  1738.              (n 0))
  1739.          (while (and (setq n (1+ n) p (cdr p))
  1740.                  (eq (car-safe (car p)) 'calcFunc-fitdummy)
  1741.                  (eq (nth 1 (car p)) n)))
  1742.          (if p
  1743.              coef-filters
  1744.            (list 'vec)))
  1745.            chisq
  1746.            (if (and have-sdevs (> n mm))
  1747.            (list 'calcFunc-utpc chisq (- n mm))
  1748.          '(var nan var-nan)))
  1749.        expr)))
  1750. )
  1751.  
  1752. (setq math-in-fit 0)
  1753. (setq calc-fit-to-trail nil)
  1754.  
  1755. (defun calcFunc-fitvar (x)
  1756.   (if (>= math-in-fit 2)
  1757.       (progn
  1758.     (setq x (aref math-dummy-vars (+ first-var x -1)))
  1759.     (or (calc-var-value (nth 2 x)) x))
  1760.     (math-reject-arg x))
  1761. )
  1762.  
  1763. (defun calcFunc-fitparam (x)
  1764.   (if (>= math-in-fit 2)
  1765.       (progn
  1766.     (setq x (aref math-dummy-vars (+ first-coef x -1)))
  1767.     (or (calc-var-value (nth 2 x)) x))
  1768.     (math-reject-arg x))
  1769. )
  1770.  
  1771. (defun calcFunc-fitdummy (x)
  1772.   (if (= math-in-fit 3)
  1773.       (nth x new-coefs)
  1774.     (math-reject-arg x))
  1775. )
  1776.  
  1777. (defun calcFunc-hasfitvars (expr)
  1778.   (if (Math-primp expr)
  1779.       0
  1780.     (if (eq (car expr) 'calcFunc-fitvar)
  1781.     (nth 1 expr)
  1782.       (apply 'max (mapcar 'calcFunc-hasfitvars (cdr expr)))))
  1783. )
  1784.  
  1785. (defun calcFunc-hasfitparams (expr)
  1786.   (if (Math-primp expr)
  1787.       0
  1788.     (if (eq (car expr) 'calcFunc-fitparam)
  1789.     (nth 1 expr)
  1790.       (apply 'max (mapcar 'calcFunc-hasfitparams (cdr expr)))))
  1791. )
  1792.  
  1793.  
  1794. (defun math-all-vars-but (expr but)
  1795.   (let* ((vars (math-all-vars-in expr))
  1796.      (p but))
  1797.     (while p
  1798.       (setq vars (delq (assoc (car-safe p) vars) vars)
  1799.         p (cdr p)))
  1800.     (sort (mapcar 'car vars)
  1801.       (function (lambda (x y) (string< (nth 1 x) (nth 1 y))))))
  1802. )
  1803.  
  1804. (defun math-all-vars-in (expr)
  1805.   (let ((vars nil)
  1806.     found)
  1807.     (math-all-vars-rec expr)
  1808.     vars)
  1809. )
  1810.  
  1811. (defun math-all-vars-rec (expr)
  1812.   (if (Math-primp expr)
  1813.       (if (eq (car-safe expr) 'var)
  1814.       (or (math-const-var expr)
  1815.           (if (setq found (assoc expr vars))
  1816.           (setcdr found (1+ (cdr found)))
  1817.         (setq vars (cons (cons expr 1) vars)))))
  1818.     (while (setq expr (cdr expr))
  1819.       (math-all-vars-rec (car expr))))
  1820. )
  1821.  
  1822.  
  1823.  
  1824.  
  1825.